Anexos y Bibliografía

Anexo 1.  Función de distribución y distribución acumulada para las distribuciones binomial negativa y geométrica

Binomial negativa: si su función de probabilidad es:

Donde [x] denota la parte entera de x.

Geométrica: si su función de probabilidad es:

Anexo 2.  Demostración fórmula binomial negativa.

∑^∞_x=k(^x-1_k-1) p^k (1-p) ^x-k=1

Inducción sobre k.  K=1, En este caso tenemos la distribución geométrica con parámetro p, por lo que:

∑^∞_x=1(^x-1_1-1) p (1-p) ^x-1=∑^∞_x=1p (1-p) ^x-1=p∑^∞_x=0(1-p) ^x=p [1/1-(1-p)]=p/p=1

Suponemos que el resultado es verdadero para k.

Suponemos entonces que ∑^∞_x=k(^x-1_k-1) pk (1-p) ^x-k=1.  Simplificamos un poco antes de hacer el paso inductivo:

1=∑^∞_x=k(^x-1_k-1) p^k (1-p) ^x-k

=∑^∞_x=k [(x-1)! / (k-1) (x-k)!] p^k (1-p)^x-k

=p^k/ (k-1)! ∑^∞_x=k (x-1)! /(x-k)! (1-p) ^x-k

=p^k/ (k-1)! ∑^∞_x=0 (x+k-1)!/x! (1-p)^x

Entonces podemos cambiar nuestra hipótesis de inducción  (HI)  suponiendo que:

∑^∞_x=0(x-k-1)!/x! (1-p)^x= (k-1)!/p^k                           (1)

y demostrar que la ecuación  (1)  es verdadera para k+1.

Por demostrar que  (1)  es válida para k+1, hay que demostrar que:

∑^∞_x=0(x+k)! /x! (1-p) ^x= k!/p^k+1                              (2)

Veamos, tenemos que:

∑^∞_x=0(x+k)! /x! (1-p) ^x  = ∑^∞_x=0(x+k) (x+k-1)! /x!  (1-p) ^x

=∑^∞_x=1 x (x+k-1)! / x! (1-p) ^x + k ∑^∞_{x=0 (}x+k-1)! /x! (1-p) ^x    

^HI=∑^∞_x=1 x (x+k-1)! /x! (1-p) ^x + k (k-1)! / p^k              (3)

=∑^∞_x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p)^x + k!/p^k

Trabajemos ahora con =∑^∞_x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p) ^x Tenemos que:

∑^∞_x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p)^x    = (1-p) ∑^∞_x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p) ^x-1

= (1-p) ∑^∞_x=0 -d/dp ((x+k-1)! / x! (1-p) ^x)

= - (1-p) d/dp ∑^∞_x=0 ((x+k-1)! / x! (1-p) ^x)

^HI= - (1-p) d/dp ((k-19! /p^k )                   (4)

= (1-p) k! / p^k+1

(d/dp denota la derivada con respecto a p).  Insertando  (4) en (3) obtenemos:

∑^∞_x=0(x+k)! /x! (1-p)^x  = (1-p) k!/ p^k+1 + k!/p^k

= (1-p) k! + p (k!) / p^k+1                     (5)

= k!/p^k+1

Y por lo tanto hemos demostrado (2), lo que implica que la proposición es verdadera!

Anexo 3.  Función generatriz de momentos binomial negativa y demostración

Donde q=1-p.

Demostración:

Anexo 4. Función generatriz de momentos geométrica y demostración

Donde q=1-p

Demostración:

Anexo 5.  Demostraciones esperanza y varianza distribución binomial negativa

Demostración:

 utilizando la función generatriz, tenemos derivando y utilizando la fórmula de derivación :

Demostración utilizando segunda derivada de la función generatriz de momentos anterior de la esperanza y utilizando la fórmula :

La varianza esta dada por:

Anexo 6.  Demostraciones esperanza y varianza distribución geométrica

Si k=1 la distribución binomial negativa pasa a ser distribución geométrica:

Demostración con función generatriz:

Si K=1 la distribución binomial negativa pasa a ser distribución geométrica:

BIBLIOGRAFÍA

-  Sheldon Ross (2006), "A first Course in probability", Editorial Prentice Hall, Tercera edición, New Jersey Estados Unidos

- Mendenhall Sincich (1997), "Porbabilidad y estadística para ingenierias y ciencias", Editorial Prentice Hall, Cuarta edición, Estados Unidos

  

 www.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution