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29 sept. 2010

Anexos y Bibliografía

Anexo 1.  Función de distribución y distribución acumulada para las distribuciones binomial negativa y geométrica


Binomial negativa: si su función de probabilidad es:


Donde [x] denota la parte entera de x.




Geométrica: si su función de probabilidad es:




Anexo 2.  Demostración fórmula binomial negativa.
x=k(x-1k-1) pk (1-p) x-k=1
Inducción sobre k.  K=1, En este caso tenemos la distribución geométrica con parámetro p, por lo que:
x=1(x-11-1) p (1-p) x-1=∑x=1p (1-p) x-1=p∑x=0(1-p) x=p [1/1-(1-p)]=p/p=1
Suponemos que el resultado es verdadero para k.
Suponemos entonces que ∑x=k(x-1k-1) pk (1-p) x-k=1.  Simplificamos un poco antes de hacer el paso inductivo:
1=∑x=k(x-1k-1) pk (1-p) x-k
=∑x=k [(x-1)! / (k-1) (x-k)!] pk (1-p)x-k
=pk/ (k-1)! ∑x=k (x-1)! /(x-k)! (1-p) x-k
=pk/ (k-1)! ∑x=0 (x+k-1)!/x! (1-p)x
Entonces podemos cambiar nuestra hipótesis de inducción  (HI)  suponiendo que:

x=0(x-k-1)!/x! (1-p)x= (k-1)!/pk                           (1)
y demostrar que la ecuación  (1)  es verdadera para k+1.

Por demostrar que  (1)  es válida para k+1, hay que demostrar que:

x=0(x+k)! /x! (1-p) x= k!/pk+1                              (2)

Veamos, tenemos que:
x=0(x+k)! /x! (1-p) x  = ∑x=0(x+k) (x+k-1)! /x!  (1-p) x
=∑x=1 x (x+k-1)! / x! (1-p) x + k ∑x=0 (x+k-1)! /x! (1-p) x    
HI=∑x=1 x (x+k-1)! /x! (1-p) x + k (k-1)! / pk              (3)
=∑x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p)x + k!/pk
Trabajemos ahora con =∑x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p) x Tenemos que:
x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p)x    = (1-p) ∑x=1  x (x+k-1)! / x! (1-p) x-1
= (1-p) ∑x=0 -d/dp ((x+k-1)! / x! (1-p) x)
= - (1-p) d/dp ∑x=0 ((x+k-1)! / x! (1-p) x)
HI= - (1-p) d/dp ((k-19! /pk )                   (4)
= (1-p) k! / pk+1
(d/dp denota la derivada con respecto a p).  Insertando  (4) en (3) obtenemos:
x=0(x+k)! /x! (1-p)x  = (1-p) k!/ pk+1 + k!/pk
= (1-p) k! + p (k!) / pk+1                     (5)
= k!/pk+1
Y por lo tanto hemos demostrado (2), lo que implica que la proposición es verdadera!


Anexo 3.  Función generatriz de momentos binomial negativa y demostración

Donde q=1-p.

Demostración:




Anexo 4. Función generatriz de momentos geométrica y demostración

Donde q=1-p

Demostración:



Anexo 5.  Demostraciones esperanza y varianza distribución binomial negativa



Demostración:

 utilizando la función generatriz, tenemos derivando y utilizando la fórmula de derivación :




Demostración utilizando segunda derivada de la función generatriz de momentos anterior de la esperanza y utilizando la fórmula :


La varianza esta dada por:



Anexo 6.  Demostraciones esperanza y varianza distribución geométrica



Si k=1 la distribución binomial negativa pasa a ser distribución geométrica:



Demostración con función generatriz:


Si K=1 la distribución binomial negativa pasa a ser distribución geométrica:




BIBLIOGRAFÍA

-  Sheldon Ross (2006), "A first Course in probability", Editorial Prentice Hall, Tercera edición, New Jersey Estados Unidos

- Mendenhall Sincich (1997), "Porbabilidad y estadística para ingenierias y ciencias", Editorial Prentice Hall, Cuarta edición, Estados Unidos
  


1 comentario:

  1. Se puede utilizar el mismo método para hallar E(X^3)? ya que el proceso se vuelve bastante extenso. Tal vez exista alguna forma de simplificar el proceso? Muchas gracias

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