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29 sept. 2010

Dsitribución Binomial Negativa

 DISTRIBUCIÒN BINOMIAL NEGATIVA


En una serie de ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad constante p de éxito, sea que la variable aleatoria X denote el número de ensayos hasta que ocurran r éxitos. Entonces X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r.  Donde r= 1,2,3 ....n



Para x=  r, r+1,r+2.....r+n.

Debido a que se necesitan al menos r ensayos para obtener r éxitos el rango de X es de r a ∞. En el caso especial en que r=1, una variables aleatoria binomial negativa es una variable aleatoria geométrica. 
 
Dado que sus probabilidades dependen del número de éxitos deseados y la probabilidad de éxito en un intento dado, se representarán con la simbología:

b*(x;k,p)

Donde:


Significa que x tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y
k=1, 2,3,…∞  El número total de puntos muéstrales en el experimento que termina en un éxito, son mutuamente excluyentes.


La función de  densidad  es:

         
        

La esperanza y la varianza de una variable aleatoria que sigue distribución binomial negativa es:



Función generatriz de momentos es:

 

Función acumulada


Función caracteristica



 x-k:= Es el  Fracaso.
   p:= Probabilidad de éxito, es constante.
   q:= Probabilidad de fracaso, donde . q=1-p
   k:= Éxito deseado.
   x:= El número de intentos o ensayos, es fijo.

EJEMPLO 1: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea sólo caras o sólo cruces por segunda ocasión en el quinto lanzamiento.

Solución:

Utilizando la distribución binomial negativa con x=5, k=2, p=2/4  , porque:


Elementos
Probabilidad
CCC
1/4
CCX
1/4
CXX
1/4
XXX
1/4


Se tiene:


SOLUCION EN R 

Paquete stats


Paquete distr
Solución con excel:

TRANSFORMACIÒN



BINOMIAL NEGATIVA – GEOMÈTRICA
Suponga que la probabilidad de un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital se reciba con errores de 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos independientes y sea que la variable aleatoria X denote el número de bits transmitidos hasta el cuarto error.
Entonces X tiene una distribución binomial negativa con r=4. Las probabilidades que involucran pueden encontrarse como sigue:


P(X=10) Es la probabilidad de que ocurra exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos y que el ensayo 10 sea el cuarto error. La probabilidad de que ocurra exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos se determina a partir de la distribución binomial como:


Puesto que los ensayos son independientes, la probabilidad de que ocurran exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos y que el ensayo 10 resulte en el cuarto error es el producto de las probabilidades de estos dos eventos, es decir:

Xi=indica un ensayo que resulta en un éxito
Una variable aleatoria binomial negativa representada como una suma de variables aleatorias geométricas

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