Dsitribución Binomial Negativa

 DISTRIBUCIÒN BINOMIAL NEGATIVA

En una serie de ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad constante p de éxito, sea que la variable aleatoria X denote el número de ensayos hasta que ocurran r éxitos. Entonces X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r.  Donde r= 1,2,3 ....n

Para x=  r, r+1,r+2.....r+n.

Debido a que se necesitan al menos r ensayos para obtener r éxitos el rango de X es de r a ∞. En el caso especial en que r=1, una variables aleatoria binomial negativa es una variable aleatoria geométrica. 

 

Dado que sus probabilidades dependen del número de éxitos deseados y la probabilidad de éxito en un intento dado, se representarán con la simbología:

b*(x;k,p)

Donde:

Significa que x tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y

k=1, 2,3,…∞  El número total de puntos muéstrales en el experimento que termina en un éxito, son mutuamente excluyentes.

La función de  densidad  es:

         

        

La esperanza y la varianza de una variable aleatoria que sigue distribución binomial negativa es:

Función generatriz de momentos es:

 

Función acumulada



Función caracteristica

 x-k:= Es el  Fracaso.

   p:= Probabilidad de éxito, es constante.

   q:= Probabilidad de fracaso, donde . q=1-p

   k:= Éxito deseado.

   x:= El número de intentos o ensayos, es fijo.

EJEMPLO 1: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea sólo caras o sólo cruces por segunda ocasión en el quinto lanzamiento.

Solución:

Utilizando la distribución binomial negativa con x=5, k=2, p=2/4  , porque:

Elementos	Probabilidad
CCC	1/4
CCX	1/4
CXX	1/4
XXX	1/4

Se tiene:

SOLUCION EN R 

Paquete stats

Paquete distr

Solución con excel:

TRANSFORMACIÒN

BINOMIAL NEGATIVA – GEOMÈTRICA

Suponga que la probabilidad de un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital se reciba con errores de 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos independientes y sea que la variable aleatoria X denote el número de bits transmitidos hasta el cuarto error.

Entonces X tiene una distribución binomial negativa con r=4. Las probabilidades que involucran pueden encontrarse como sigue:

P(X=10) Es la probabilidad de que ocurra exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos y que el ensayo 10 sea el cuarto error. La probabilidad de que ocurra exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos se determina a partir de la distribución binomial como:

Puesto que los ensayos son independientes, la probabilidad de que ocurran exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos y que el ensayo 10 resulte en el cuarto error es el producto de las probabilidades de estos dos eventos, es decir:

Xi=indica un ensayo que resulta en un éxito

Una variable aleatoria binomial negativa representada como una suma de variables aleatorias geométricas