DISTRIBUCIÒN BINOMIAL NEGATIVA
En una serie de ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad constante p de éxito, sea que la variable aleatoria X denote el número de ensayos hasta que ocurran r éxitos. Entonces X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r. Donde r= 1,2,3 ....n
Para x= r, r+1,r+2.....r+n.
Debido a que se necesitan al menos r ensayos para obtener r éxitos el rango de X es de r a ∞. En el caso especial en que r=1, una variables aleatoria binomial negativa es una variable aleatoria geométrica.
Dado que sus probabilidades dependen del número de éxitos deseados y la probabilidad de éxito en un intento dado, se representarán con la simbología:
b*(x;k,p)
Donde:
k=1, 2,3,…∞ El número total de puntos muéstrales en el experimento que termina en un éxito, son mutuamente excluyentes.
La función de densidad es:
La esperanza y la varianza de una variable aleatoria que sigue distribución binomial negativa es:
Función generatriz de momentos es:
Función acumulada
Función caracteristica
p:= Probabilidad de éxito, es constante.
EJEMPLO 1: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea sólo caras o sólo cruces por segunda ocasión en el quinto lanzamiento.
Solución:
Utilizando la distribución binomial negativa con x=5, k=2, p=2/4 , porque:
Utilizando la distribución binomial negativa con x=5, k=2, p=2/4
Elementos | Probabilidad |
CCC | |
CCX | |
CXX | |
XXX |
Se tiene:
SOLUCION EN R
Paquete stats
Solución con excel:
TRANSFORMACIÒN
BINOMIAL NEGATIVA – GEOMÈTRICA
Suponga que la probabilidad de un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital se reciba con errores de 0.1. Suponga que las transmisiones son eventos independientes y sea que la variable aleatoria X denote el número de bits transmitidos hasta el cuarto error.
Entonces X tiene una distribución binomial negativa con r=4. Las probabilidades que involucran pueden encontrarse como sigue:
P(X=10) Es la probabilidad de que ocurra exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos y que el ensayo 10 sea el cuarto error. La probabilidad de que ocurra exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos se determina a partir de la distribución binomial como:
Puesto que los ensayos son independientes, la probabilidad de que ocurran exactamente 3 errores en los nueve primeros ensayos y que el ensayo 10 resulte en el cuarto error es el producto de las probabilidades de estos dos eventos, es decir:
Xi=indica un ensayo que resulta en un éxito
Una variable aleatoria binomial negativa representada como una suma de variables aleatorias geométricas
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