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29 sept. 2010

Distribución Geométrica

DISTRIBUCIÒN GEOMÈTRICA

DEFINICIÒN


La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera


En una serie de ensayos independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad p constante y en un fracaso con una probabilidad de q=1-p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x, denota el número de ensayos en el cual ocurre el primer éxito es:
g(x;p)=pqx-1
Para x=1, 2,3,…∞
g(x;p)=pqx
Para x=0, 1,2,…∞


Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es:


Donnde

p:= Probabilidad constante de un exito
q:=Parametro en el espacio
x:=Variable aleatoria que denota el número de ensayos hasta el primer exito

Si K=1 entonces la binomial negativa se convierte en distribución geométrica.
Si x es una variable aleatoria geométrica con parámetro p, entonces la esperanza y varianza de x son:                                       

    E(X) = µ =

    Var(X) =σ=
 

Función Acumulada 





Generatriz de momentos:




EJEMPLO 1: En un cierto proceso de manufactura se sabe que, en promedio, 1 de cada 100 piezas está defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza inspeccionada sea la primera defectuosa?

Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.01, se tiene:





Solución en R

   dgeom(x, prob, log = F) .    Devuelve los resultados de la función de densidad
   x, q:  Vector de cuantiles que representa el número de fallos antes del primer éxito
   prob: Probabilidad de éxito en cada ensayo.
   log, log.p: Parámetro booleano, si es TRUE, las probabilidades p son devueltas como log (p).

Paquete stats



Paquete distr


Solucion en excel:




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